准备知识33 章节

Python 与科学计算

9 篇

01.Python 环境与 Notebook 02.变量、类型与表达式 03.控制流与推导式 04.核心数据结构 05.函数、作用域与函数式工具 06.模块、包与配置 07.文件、异常、调试与测试 08.NumPy 数值计算与向量化 09. Pandas 数据分析与表格操作实战

数学基础（线代、微积分与概率统计）

15 篇

01.向量、矩阵与余弦相似度 02.矩阵运算、秩与几何变换 03.基、Gram-Schmidt 与最小二乘 04.特征值分解、对角化与正定矩阵 05.SVD 分解与 PCA 降维实战 06. 偏导数、链式法则与计算图 07. 梯度、Jacobian/Hessian 与凸性 08. 梯度下降算法：Batch, SGD 与 Mini-batch 09. 现代优化器：Momentum, RMSProp 与 Adam 10. 损失函数思想与凸函数极小化 11. 随机变量、条件概率与贝叶斯定理 12. 常见分布、期望方差与协方差 13. 大数定律、中心极限定理与 Bootstrap 14. MLE, MAP 与高斯-MSE/伯努利-BCE 推导 15. 假设检验、p值、效应量与 A/B 测试实战

数据处理与特征工程

5 篇

01. 数据字典、质量审计与 EDA 清单 02. 随机、分层、分组与时间序列切分 03. 预处理、编码与防数据泄漏铁律 04. 特征构造、多重共线性与类别不平衡消融 05. ColumnTransformer, Pipeline 与模型持久化

实验与工程习惯

4 篇

01. 规范仓库结构、YAML 配置与随机性控制 02. 模块化代码重构与 pytest 5大契约测试 03. 结构化实验记录 runs/ 与误分类错误分析 04. 端到端从零复现、多模型基线对比与报告

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笔记库/准备知识/02.矩阵运算、秩与几何变换

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02.矩阵运算、秩与几何变换

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核心导读

深入矩阵代数性质（乘法、转置、迹、秩与逆矩阵），理清线性变换的几何含义，并手写旋转、缩放与剪切变换矩阵进行可视化演练。

从一个问题开始

在图像处理中，如何把一张图片旋转 30 度或沿着斜方向“剪切”变形？在神经网络中，一个线性层 $y = Wx + b$ 究竟对输入的数据空间做了什么？

答案是：矩阵不仅是数据的排列表，更代表一种对空间的线性变换（Linear Transformation）。这一章我们将理清矩阵代数的核心性质（转置、迹、秩与逆），并通过代码亲自手写旋转、缩放与剪切变换矩阵。

shape 匹配第一铁律

矩阵乘法 $(m \times n) @ (n \times k) \to (m \times k)$ 的基本条件是：左矩阵的列数等于右矩阵的行数。在深度学习中，批量样本 $X \in \mathbb{R}^{B \times d_{in}}$ 乘以权重 $W \in \mathbb{R}^{d_{in} \times d_{out}}$ 得到 $Y \in \mathbb{R}^{B \times d_{out}}$ 。

1. 线性变换的几何本质：橡皮膜网格比喻

许多零基础初学者觉得矩阵乘法公式死板难记，是因为把它当成了纯粹的数字游戏。

在几何上，一个 $2 \times 2$ 矩阵代表对平面坐标系网格的一次“拉伸、旋转或剪切”：

初学者直觉：橡皮膜网格 (Rubber Sheet)

想象坐标平面印在一张充满弹性的透明橡皮膜上：

默认的基向量 $e_1 = [1, 0]^T$ （水平红箭）和 $e_2 = [0, 1]^T$ （垂直蓝箭）围成了一个面积为 1 的正方形格子。
矩阵 $A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$ 的第一列 $[a, c]^T$ 就是红箭变形后的新位置；第二列 $[b, d]^T$ 就是蓝箭变形后的新位置。
橡皮膜上所有的其他数据点，都会跟着这两个基向量一起被均匀地拖拽、扭曲到新位置！

$矩阵几何变换橡皮膜网格拉伸与旋转示意图$ 点击放大查看图：矩阵几何变换橡皮膜网格拉伸与旋转示意图

2. 矩阵代数基本运算

2.1 矩阵乘法与转置

矩阵乘法满足结合律 $A(BC) = (AB)C$ 和分配律 $A(B+C) = AB + AC$ ，但不满足交换律（即一般 $AB \ne BA$ ）。

几何直觉：先旋转 90 度再水平拉伸，与先水平拉伸再旋转 90 度，最终得到的形状完全不同！

对于矩阵 $A \in \mathbb{R}^{m \times n}$ ，其转置 $A^T \in \mathbb{R}^{n \times m}$ 满足：

(AB)^T = B^T A^T

2.2 矩阵的迹 (Trace) 与行列式 (Determinant)

方阵 $A \in \mathbb{R}^{n \times n}$ 的**迹（Trace）**是对角线元素之和：

\text{Tr}(A) = \sum_{i=1}^n A_{ii}

行列式 $\det(A)$ 的几何含义：

行列式的绝对值 $|\det(A)|$ 恰好代表橡皮膜上单位网格面积在变换后的放大/缩小倍数！
若 $\det(A) = 2$ ，说明变换后所有区域的面积都翻了一倍。
若 $\det(A) = 0$ ，说明平面被强行“压扁”成了一条直线或一个点，原本二维的面积变成了 0，数据信息丢失，因此不可逆。

$行列式面积放大倍数与压扁降维不可逆示意图$ 点击放大查看图：行列式面积放大倍数与压扁降维不可逆示意图

3. 矩阵的秩（Rank）与逆矩阵（Inverse）

2.1 矩阵的秩

矩阵 $A$ 的秩 $\text{rank}(A)$ 代表矩阵中线性无关的行数（或列数）。

满秩（Full Rank）：若 $A \in \mathbb{R}^{n \times n}$ 且 $\text{rank}(A) = n$ ，说明空间没有被压缩降维。
秩亏损（Rank Deficient）：若 $\text{rank}(A) < n$ ，说明空间被“压扁”了（例如三维压缩成二维平面或直线），存在信息丢失。

2.2 逆矩阵

若方阵 $A$ 满秩，则存在唯一的逆矩阵 $A^{-1}$ ，使得：

A A^{-1} = A^{-1} A = I

若 $\det(A) = 0$ 或 $\text{rank}(A) < n$ ，则 $A$ 为奇异矩阵（Singular Matrix），不可逆。

3. 线性变换的几何含义：旋转、缩放与剪切

任何 $2 \times 2$ 矩阵 $A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$ 都作用于基向量 $e_1 = [1, 0]^T$ 与 $e_2 = [0, 1]^T$ 。

缩放矩阵（Scaling）：

S(s_x, s_y) = \begin{bmatrix} s_x & 0 \\ 0 & s_y \end{bmatrix}

旋转矩阵（Rotation）：逆时针旋转 $\theta$ 角：

R(\theta) = \begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix}

剪切矩阵（Shear）：沿 $x$ 轴剪切 $k$ ：

H_x(k) = \begin{bmatrix} 1 & k \\ 0 & 1 \end{bmatrix}

React Flow 拓扑流程图

支持拖拽与滚轮缩放 🔍

原始网格点 (x, y)

变换矩阵 A

旋转/缩放/剪切

新空间坐标 (x', y')

React Flow

4. 手算演练

手算练习 1：矩阵乘向量（两种视角拆解）

给定矩阵 $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$ 与向量 $x = \begin{bmatrix} 5 \\ 6 \end{bmatrix}$ ：

视角 A：逐行点积（Row Dot Product）：
- 第 1 行： $[1, 2] \cdot [5, 6]^T = 1 \times 5 + 2 \times 6 = 5 + 12 = 17$
- 第 2 行： $[3, 4] \cdot [5, 6]^T = 3 \times 5 + 4 \times 6 = 15 + 24 = 39$
- 结果为 $\begin{bmatrix} 17 \\ 39 \end{bmatrix}$ 。
视角 B：列向量的线性组合（Column Linear Combination）：
- 把 $x$ 的分量作为权重组合 $A$ 的列：

5 \begin{bmatrix} 1 \\ 3 \end{bmatrix} + 6 \begin{bmatrix} 2 \\ 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 \\ 15 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 12 \\ 24 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 17 \\ 39 \end{bmatrix}

手算练习 2：计算行列式与逆矩阵

给定矩阵 $A = \begin{bmatrix} 4 & 2 \\ 1 & 3 \end{bmatrix}$ ：

计算行列式 $\det(A)$ ：

\det(A) = ad - bc = (4 \times 3) - (2 \times 1) = 12 - 2 = 10

因为 $\det(A) = 10 \ne 0$ ，说明矩阵满秩（Rank = 2），存在唯一的逆矩阵！

套用 $2 \times 2$ 逆矩阵公式：

A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix} = \frac{1}{10} \begin{bmatrix} 3 & -2 \\ -1 & 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0.3 & -0.2 \\ -0.1 & 0.4 \end{bmatrix}

手算验证 $A A^{-1} = I$ ：

\begin{bmatrix} 4 & 2 \\ 1 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0.3 & -0.2 \\ -0.1 & 0.4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4(0.3)+2(-0.1) & 4(-0.2)+2(0.4) \\ 1(0.3)+3(-0.1) & 1(-0.2)+3(0.4) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}

5. 动手实战：手写二维几何变换与数据点云变化

下面的代码演示如何手写构造旋转矩阵与剪切矩阵，作用于一组二维数据点云上：

二维旋转、缩放与剪切变换可视化代码

import numpy as np

# 1. 创建一组简单的二维点云 (正方形 4 个顶点)

points = np.array([

[0.0, 0.0],

[1.0, 0.0],

[1.0, 1.0],

[0.0, 1.0]

]).T # shape: (2, 4)

# 2. 构造变换矩阵

theta = np.radians(45) # 旋转 45 度

R = np.array([

[np.cos(theta), -np.sin(theta)],

[np.sin(theta), np.cos(theta)]

])

S = np.array([

[2.0, 0.0],

[0.0, 0.5]

]) # x轴放大2倍，y轴缩小一半

H = np.array([

[1.0, 0.5],

[0.0, 1.0]

]) # x方向剪切 0.5

# 3. 计算变换后的点云坐标

points_rot = R @ points

points_scale = S @ points

points_shear = H @ points

print("原始点云坐标:\n", points.T)

print("\n旋转45度后的点云坐标:\n", np.round(points_rot.T, 2))

print("\n剪切变换后的点云坐标:\n", np.round(points_shear.T, 2))

# 4. 验证矩阵逆运算还原

points_recovered = np.linalg.inv(R) @ points_rot

print("\n用逆矩阵还原原始点云的误差:", np.max(np.abs(points - points_recovered)))

5. 常见错误与避坑指南

现象	先问什么	处理方式
`LinAlgError: Singular matrix`	矩阵是否可逆	检查行列式 `np.linalg.det(A)` 是否为 0，或用伪逆 `np.linalg.pinv(A)` 替代
`(AB)^T` 算错	转置后顺序是否颠倒	谨记转置穿透公式 $(AB)^T = B^T A^T$ ，必须交换左右顺序
变换顺序混乱	矩阵乘法从右向左作用	若先做缩放 $S$ 再做旋转 $R$ ，对向量 $x$ 应写作 $R (S x) = (R S) x$

检查清单 (Checklist)

能写出矩阵转置与乘法穿透公式 $(AB)^T = B^T A^T$ 。
能解释矩阵的迹（Trace）定义及其循环置换不变性。
能说明矩阵的秩（Rank）与奇异矩阵、可逆性的关系。
能手写二维旋转矩阵 $R(\theta)$ 与剪切矩阵。
能用 NumPy 计算逆矩阵并验证 $A A^{-1} = I$ 。

自测题

若 $A \in \mathbb{R}^{3 \times 2}$ ， $B \in \mathbb{R}^{2 \times 4}$ ，则 $(A B)^T$ 的 shape 是多少？
构造一个 $2 \times 2$ 的矩阵，使其将所有二维向量映射到 $x$ 轴上。该矩阵的秩（Rank）是多少？它是否可逆？
计算矩阵 $A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}$ 的迹 $\text{Tr}(A)$ 与行列式 $\det(A)$ 。
【代码阅读题】代码 np.linalg.inv(A) @ b 用来解方程 $Ax = b$ 。当 $A$ 为奇异矩阵时会发生什么？在实际工程中通常推荐使用什么 API？

点击查看参考答案

$AB$ 的 shape 为 $(3, 4)$ ，因此其转置 $(AB)^T$ 的 shape 是 $(4, 3)$ 。
矩阵为 $\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$ 。其秩为 1（小于 2，秩亏损），行列式为 0，不可逆。
$\text{Tr}(A) = 2 + 2 = 4$ ； $\det(A) = 2 \times 2 - 1 \times 1 = 3$ 。
会抛出 LinAlgError: Singular matrix 异常。实际工程中通常推荐使用 np.linalg.solve(A, b) 或 np.linalg.lstsq(A, b)。

下一步

进入下一个专项 03. 基、Gram-Schmidt 与最小二乘，学习子空间、正交性、Gram-Schmidt 正交化算法与正规方程最小二乘拟合。

参考资料

Mathematics for Machine Learning：第 2.3-2.5 节矩阵性质与线性映射。
3Blue1Brown: Essence of Linear Algebra Chapter 3 & 4：矩阵与线性变换几何本质。

本页目录

从一个问题开始

1. 线性变换的几何本质：橡皮膜网格比喻

2. 矩阵代数基本运算

2.1 矩阵乘法与转置

2.2 矩阵的迹 (Trace) 与行列式 (Determinant)

3. 矩阵的秩（Rank）与逆矩阵（Inverse）

2.1 矩阵的秩

2.2 逆矩阵

3. 线性变换的几何含义：旋转、缩放与剪切

4. 手算演练

手算练习 1：矩阵乘向量（两种视角拆解）

手算练习 2：计算行列式与逆矩阵

5. 动手实战：手写二维几何变换与数据点云变化

5. 常见错误与避坑指南

检查清单 (Checklist)

自测题

下一步

参考资料

核心概念术语表

A^T

矩阵 A 的转置

\text{Tr}(A)

矩阵 A 的迹（对角元素之和）

\text{rank}(A)

矩阵 A 的秩（线性无关行/列数）

A^{-1}

矩阵 A 的逆矩阵

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01.向量、矩阵与余弦相似度

线性代数 45 分钟

03.基、Gram-Schmidt 与最小二乘

线性代数 55 分钟

从一个问题开始

在图像处理中，如何把一张图片旋转 30 度或沿着斜方向“剪切”变形？在神经网络中，一个线性层 $y = Wx + b$ 究竟对输入的数据空间做了什么？

shape 匹配第一铁律

1. 线性变换的几何本质：橡皮膜网格比喻

许多零基础初学者觉得矩阵乘法公式死板难记，是因为把它当成了纯粹的数字游戏。

在几何上，一个 $2 \times 2$ 矩阵代表对平面坐标系网格的一次“拉伸、旋转或剪切”：

初学者直觉：橡皮膜网格 (Rubber Sheet)

想象坐标平面印在一张充满弹性的透明橡皮膜上：

默认的基向量 $e_1 = [1, 0]^T$ （水平红箭）和 $e_2 = [0, 1]^T$ （垂直蓝箭）围成了一个面积为 1 的正方形格子。
矩阵 $A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$ 的第一列 $[a, c]^T$ 就是红箭变形后的新位置；第二列 $[b, d]^T$ 就是蓝箭变形后的新位置。
橡皮膜上所有的其他数据点，都会跟着这两个基向量一起被均匀地拖拽、扭曲到新位置！

$矩阵几何变换橡皮膜网格拉伸与旋转示意图$ 点击放大查看图：矩阵几何变换橡皮膜网格拉伸与旋转示意图

2. 矩阵代数基本运算

2.1 矩阵乘法与转置

矩阵乘法满足结合律 $A(BC) = (AB)C$ 和分配律 $A(B+C) = AB + AC$ ，但不满足交换律（即一般 $AB \ne BA$ ）。

几何直觉：先旋转 90 度再水平拉伸，与先水平拉伸再旋转 90 度，最终得到的形状完全不同！

对于矩阵 $A \in \mathbb{R}^{m \times n}$ ，其转置 $A^T \in \mathbb{R}^{n \times m}$ 满足：

(AB)^T = B^T A^T

2.2 矩阵的迹 (Trace) 与行列式 (Determinant)

方阵 $A \in \mathbb{R}^{n \times n}$ 的**迹（Trace）**是对角线元素之和：

\text{Tr}(A) = \sum_{i=1}^n A_{ii}

行列式 $\det(A)$ 的几何含义：

行列式的绝对值 $|\det(A)|$ 恰好代表橡皮膜上单位网格面积在变换后的放大/缩小倍数！
若 $\det(A) = 2$ ，说明变换后所有区域的面积都翻了一倍。
若 $\det(A) = 0$ ，说明平面被强行“压扁”成了一条直线或一个点，原本二维的面积变成了 0，数据信息丢失，因此不可逆。

$行列式面积放大倍数与压扁降维不可逆示意图$ 点击放大查看图：行列式面积放大倍数与压扁降维不可逆示意图

3. 矩阵的秩（Rank）与逆矩阵（Inverse）

2.1 矩阵的秩

矩阵 $A$ 的秩 $\text{rank}(A)$ 代表矩阵中线性无关的行数（或列数）。

满秩（Full Rank）：若 $A \in \mathbb{R}^{n \times n}$ 且 $\text{rank}(A) = n$ ，说明空间没有被压缩降维。
秩亏损（Rank Deficient）：若 $\text{rank}(A) < n$ ，说明空间被“压扁”了（例如三维压缩成二维平面或直线），存在信息丢失。

2.2 逆矩阵

若方阵 $A$ 满秩，则存在唯一的逆矩阵 $A^{-1}$ ，使得：

A A^{-1} = A^{-1} A = I

若 $\det(A) = 0$ 或 $\text{rank}(A) < n$ ，则 $A$ 为奇异矩阵（Singular Matrix），不可逆。

3. 线性变换的几何含义：旋转、缩放与剪切

任何 $2 \times 2$ 矩阵 $A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$ 都作用于基向量 $e_1 = [1, 0]^T$ 与 $e_2 = [0, 1]^T$ 。

缩放矩阵（Scaling）：

S(s_x, s_y) = \begin{bmatrix} s_x & 0 \\ 0 & s_y \end{bmatrix}

旋转矩阵（Rotation）：逆时针旋转 $\theta$ 角：

R(\theta) = \begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix}

剪切矩阵（Shear）：沿 $x$ 轴剪切 $k$ ：

H_x(k) = \begin{bmatrix} 1 & k \\ 0 & 1 \end{bmatrix}

React Flow 拓扑流程图

支持拖拽与滚轮缩放 🔍

原始网格点 (x, y)

变换矩阵 A

旋转/缩放/剪切

新空间坐标 (x', y')

React Flow

4. 手算演练

手算练习 1：矩阵乘向量（两种视角拆解）

给定矩阵 $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$ 与向量 $x = \begin{bmatrix} 5 \\ 6 \end{bmatrix}$ ：

视角 A：逐行点积（Row Dot Product）：
- 第 1 行： $[1, 2] \cdot [5, 6]^T = 1 \times 5 + 2 \times 6 = 5 + 12 = 17$
- 第 2 行： $[3, 4] \cdot [5, 6]^T = 3 \times 5 + 4 \times 6 = 15 + 24 = 39$
- 结果为 $\begin{bmatrix} 17 \\ 39 \end{bmatrix}$ 。
视角 B：列向量的线性组合（Column Linear Combination）：
- 把 $x$ 的分量作为权重组合 $A$ 的列：

5 \begin{bmatrix} 1 \\ 3 \end{bmatrix} + 6 \begin{bmatrix} 2 \\ 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 \\ 15 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 12 \\ 24 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 17 \\ 39 \end{bmatrix}

手算练习 2：计算行列式与逆矩阵

给定矩阵 $A = \begin{bmatrix} 4 & 2 \\ 1 & 3 \end{bmatrix}$ ：

计算行列式 $\det(A)$ ：

\det(A) = ad - bc = (4 \times 3) - (2 \times 1) = 12 - 2 = 10

因为 $\det(A) = 10 \ne 0$ ，说明矩阵满秩（Rank = 2），存在唯一的逆矩阵！

套用 $2 \times 2$ 逆矩阵公式：

A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix} = \frac{1}{10} \begin{bmatrix} 3 & -2 \\ -1 & 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0.3 & -0.2 \\ -0.1 & 0.4 \end{bmatrix}

手算验证 $A A^{-1} = I$ ：

\begin{bmatrix} 4 & 2 \\ 1 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0.3 & -0.2 \\ -0.1 & 0.4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4(0.3)+2(-0.1) & 4(-0.2)+2(0.4) \\ 1(0.3)+3(-0.1) & 1(-0.2)+3(0.4) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}

5. 动手实战：手写二维几何变换与数据点云变化

下面的代码演示如何手写构造旋转矩阵与剪切矩阵，作用于一组二维数据点云上：

二维旋转、缩放与剪切变换可视化代码

import numpy as np

# 1. 创建一组简单的二维点云 (正方形 4 个顶点)

points = np.array([

[0.0, 0.0],

[1.0, 0.0],

[1.0, 1.0],

[0.0, 1.0]

]).T # shape: (2, 4)

# 2. 构造变换矩阵

theta = np.radians(45) # 旋转 45 度

R = np.array([

[np.cos(theta), -np.sin(theta)],

[np.sin(theta), np.cos(theta)]

])

S = np.array([

[2.0, 0.0],

[0.0, 0.5]

]) # x轴放大2倍，y轴缩小一半

H = np.array([

[1.0, 0.5],

[0.0, 1.0]

]) # x方向剪切 0.5

# 3. 计算变换后的点云坐标

points_rot = R @ points

points_scale = S @ points

points_shear = H @ points

print("原始点云坐标:\n", points.T)

print("\n旋转45度后的点云坐标:\n", np.round(points_rot.T, 2))

print("\n剪切变换后的点云坐标:\n", np.round(points_shear.T, 2))

# 4. 验证矩阵逆运算还原

points_recovered = np.linalg.inv(R) @ points_rot

print("\n用逆矩阵还原原始点云的误差:", np.max(np.abs(points - points_recovered)))

5. 常见错误与避坑指南

现象	先问什么	处理方式
`LinAlgError: Singular matrix`	矩阵是否可逆	检查行列式 `np.linalg.det(A)` 是否为 0，或用伪逆 `np.linalg.pinv(A)` 替代
`(AB)^T` 算错	转置后顺序是否颠倒	谨记转置穿透公式 $(AB)^T = B^T A^T$ ，必须交换左右顺序
变换顺序混乱	矩阵乘法从右向左作用	若先做缩放 $S$ 再做旋转 $R$ ，对向量 $x$ 应写作 $R (S x) = (R S) x$

检查清单 (Checklist)

能写出矩阵转置与乘法穿透公式 $(AB)^T = B^T A^T$ 。
能解释矩阵的迹（Trace）定义及其循环置换不变性。
能说明矩阵的秩（Rank）与奇异矩阵、可逆性的关系。
能手写二维旋转矩阵 $R(\theta)$ 与剪切矩阵。
能用 NumPy 计算逆矩阵并验证 $A A^{-1} = I$ 。

自测题

若 $A \in \mathbb{R}^{3 \times 2}$ ， $B \in \mathbb{R}^{2 \times 4}$ ，则 $(A B)^T$ 的 shape 是多少？
构造一个 $2 \times 2$ 的矩阵，使其将所有二维向量映射到 $x$ 轴上。该矩阵的秩（Rank）是多少？它是否可逆？
计算矩阵 $A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}$ 的迹 $\text{Tr}(A)$ 与行列式 $\det(A)$ 。
【代码阅读题】代码 np.linalg.inv(A) @ b 用来解方程 $Ax = b$ 。当 $A$ 为奇异矩阵时会发生什么？在实际工程中通常推荐使用什么 API？

点击查看参考答案

$AB$ 的 shape 为 $(3, 4)$ ，因此其转置 $(AB)^T$ 的 shape 是 $(4, 3)$ 。
矩阵为 $\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$ 。其秩为 1（小于 2，秩亏损），行列式为 0，不可逆。
$\text{Tr}(A) = 2 + 2 = 4$ ； $\det(A) = 2 \times 2 - 1 \times 1 = 3$ 。
会抛出 LinAlgError: Singular matrix 异常。实际工程中通常推荐使用 np.linalg.solve(A, b) 或 np.linalg.lstsq(A, b)。

下一步

进入下一个专项 03. 基、Gram-Schmidt 与最小二乘，学习子空间、正交性、Gram-Schmidt 正交化算法与正规方程最小二乘拟合。

参考资料

Mathematics for Machine Learning：第 2.3-2.5 节矩阵性质与线性映射。
3Blue1Brown: Essence of Linear Algebra Chapter 3 & 4：矩阵与线性变换几何本质。